János Bolyai (1802-1860)

k.k. Geniehauptmann und der Mozart der Mathematik (Geometrie)

Harald Pöcher

 

„Semmiböl egy újj más világot teremtettem!“

„Ich habe aus dem Nichts eine neue Welt geschaffen!“[1]


  

Der ungarische Mathematiker und k.k. Geniehauptmann János Bolyai legte Mitte des 19. Jahrhunderts mit seiner als „nicht-euklidische Geometrie“ bekannten absoluten Geometrie des Raumes den Grundstein für eine neue Ära in der Mathematik und Geometrie. Seine Entdeckungen bildeten den Ausgangspunkt für neue Wissenschaftsdisziplinen und sind auch eine wesentliche Grundlage für die allgemeine Relativitätstheorie von Albert Einstein. Zu Lebzeiten hatte er nicht die internationale Anerkennung erhalten, heute jedoch gilt János Bolyai2) als einer der wichtigsten Mathematiker (Geometriker) der Menschheitsgeschichte. Durch seine Ausbildung an der „k.k. Ingenieursakademie“, die, während er an ihr studierte, ihren Standort in Wien hatte, wird die Erinnerung an ihn sowohl von den ungarischen Streitkräften (Honvéd), der Fakultät für Militärwissenschaften und Offiziersausbildung der Streitkräfte der Universität für die öffentliche Verwaltung in Budapest (Nemzeti Közsolgálati egyetemi hadtudományi és honvédtisztképzö kar) und der Bolyai János Honvéd-Stiftung (Bolyai János alapitvány) als auch vom Österreichischen Bundesheer, insbesondere von der Landesverteidigungsakademie, hochgehalten. Der alljährliche Festakt zur Erinnerung an János Bolyai in der Stiftskirche und der Stiftskaserne im Beisein höchster Repräsentanten der ungarischen und österreichischen Streitkräfte ist eine von vielen Veranstaltungen, um diesen großen Mathematiker und Offizier des Geniekorps der k.k. Armee gebührend zu würdigen. Der Aufsatz gibt einen Einblick in das Leben und Schaffen von János Bolyai.

Die Kindheit und Jugendjahre

János Bolyai wurde am 15. Dezember 1802 in Klausenburg, dem damaligen ungarischen Kolozsvár und heutigen rumänischen Cluj-Napoca, in einem calvinistischen Haushalt als Sohn von Farkas Bolyai (1775-1856) und Zsuzsanna Benkö de Arkós (1778 oder 1780-1821) geboren.3) Der Vater war Mathematikprofessor und Freund des deutschen Mathematikers Carl Friedrich Gauß (1777-1856). Er beschäftigte sich u.a. mit der Euklidischen Geometrie. Die Mutter wird als schöne Erscheinung, ausgestattet mit geistigen Fähigkeiten, beschrieben, allerdings litt sie bereits seit frühester Jugend an Hysterie.4)
Der Vater bemühte sich sehr um die Erziehung seines Sohnes. Die besten Studenten waren als Hauslehrer engagiert, die dem Knaben die damals wichtigsten Gegenstände außer Mathematik beibrachten. Die Ausbildung aus Mathematik nahm der Vater selbst vor. Im Alter von zwölf Jahren legte János das Rigorosum über sechs Gymnasialklassen ab und wurde dadurch nach der Sitte der damaligen Zeit „Student“. Student war er dann zwei Jahre lang, besuchte aber selten die Vorlesungen, sondern befasste sich lieber mit dem Brettspiel „Dame“.5) Von seinem Schulschwänzen blieben einige Anekdoten erhalten, so soll sich einmal knapp vor einer Prüfung sein Lehrer, der Bischof János Antal, beim Vater beklagt haben, dass János Bolyai die Vorlesungen zu schwänzen pflege. Der Vater stellte den Sohn zur Rechenschaft, was aber kaum Früchte trug. János Bolyai zeigte sich auch nach der Schelte des Vaters wenig einsichtig. Vor der Prüfung las er die schriftlichen Unterlagen ein paar Mal durch, ging dann zur Prüfung und bestand diese vorzüglich, was immer man ihn auch fragte. János Bolyai war v.a. in der Mathematik ein vorzüglicher Schüler und konnte auch seinen Vater vertreten, wenn dieser krankheitshalber nicht die Vorlesungen halten konnte. Es wird u.a. berichtet, dass die Schüler lieber dem 13-jährigen János zuhörten als dem Vater Farkas, da der Knabe die mathematischen Zusammenhänge besser erklären konnte als sein Vater.6) Seit frühester Kindheit hatte János Bolyai eine große Neigung zum Geigenspiel, das er mit zwölf Jahren bereits derartig perfektionierte, dass er die schwersten Stücke prima vista (= ohne es vorher gesehen zu haben) spielte.7)
Der Vater wollte eigentlich, dass sein Sohn bei Gauß in Göttingen seine Studien fortsetze. Hierzu schrieb er 1816 an Gauß einen Brief, in dem er seinen alten Freund direkt ersuchte, seinen Sohn drei volle Jahre bei sich in Göttingen aufzunehmen und ihm Mathematik beizubringen. Farkas Bolyai erhielt von Carl Friedrich Gauß aus verständlichen Gründen keine Antwort,8) sodass der Wunsch, dem Sohn eine hochwertige Ausbildung aus Mathematik zukommen zu lassen, nicht in Erfüllung ging. Danach sah Farkas Bolyai - nicht zuletzt auch aus Kostengründen - den einzigen Ausweg darin, seinen Sohn zu Studienzwecken nach Wien an die k.k. Ingenieursakademie zu schicken.9)

János Bolyai als Kadett der k.k. Ingenieursakademie

János Bolyai trat im August 1818 in die k.k. Ingenieursakademie ein,10) die national, aber auch international einen guten Ruf besaß, und schloss das Schuljahr positiv ab. Wie aus den Akten der Akademie hervorgeht, muss das mathematische Talent von János Bolyai in der dritten Klasse besonders aufgefallen sein, da der Gegenstand Arithmetik und Algebra vom Lehrpersonal mit „erste Klasse mit Vorzug“ bewertet wurde. In der vierten Klasse wurde er in deutscher und französischer Sprache, Schönschreiben, Religion, Arithmetik und Algebra, einfache Geometrie, Universalgeschichte und Erdkunde sowie Figurenzeichnen unterrichtet. In den meisten Gegenständen bekam er „erste Klasse“ beziehungsweise „erste Klasse mit Vorzug“; nur in Schönschreiben hatte er ein „gut“ sowie in Figurenzeichnen ein „langsam“.
Welches geistige Genie in János Bolyai schlummerte, wird uns in einer Begebenheit geschildert, deren Ablauf bis heute aufgrund der schriftlichen Aufarbeitung der Lebensgeschichte von János Bolyai Ende des 19. Jahrhunderts erhalten geblieben ist. Während des Schuljahres inspizierte der damalige General-Geniedirektor und Oberdirektor der beiden Militärakademien, Erzherzog Johann (1782-1859), die Akademie und ließ einen der neuen Schüler aufrufen. Die Wahl fiel auf János Bolyai, der die gestellte Aufgabe rasch löste und sich sogleich dem nächsten mathematischen Problem zuwandte. Der Erzherzog war über das Genie des Knaben derart erstaunt, dass er zum Professor sagte: „Die übrigen Schüler sollen diesem untergeordnet werden, er weiß mehr als die ganze Klasse.“ 11)
János Bolyai schloss die vierte Klasse als einer der drei Besten ab. In der fünften Klasse kamen als neue Gegenstände höhere Geometrie und mathematische Geographie hinzu. Bis auf Situationszeichnung, das er mit „mittelmäßig“ und Figurenzeichnen, das er mit „langsam“ abschloss, war er bei den übrigen Gegenständen unter den Besten. In der sechsten Klasse kamen Mechanik, Experimentalphysik und Perspektive dazu. In dieser hatte er sich in Situationszeichnen verbessert und die Bewertung „erste Klasse“ erhalten. In der siebenten Klasse, im Schuljahr 1821/22, kamen als neue Gegenstände Geometralzeichnen, Baukunst in der Theorie und Zeichnung, Taktik und Befestigungskunde hinzu, die er alle durchwegs mit „erste Klasse“ bestanden hatte.
Im achten, dem letzten Schuljahr, das János an der Akademie verbrachte, gibt es einen Eintrag, der auf das unglückliche Temperament des Studenten Bezug nimmt. Gemäß Befehl vom 23. Juli 1823 „wird wegen des mutwilligen wiederholten Ausbleibens über die festgesetzte Einrückungsstunde der Korpskadett Bolyai auf die übrige Zeit des laufenden Monats mit Hausarrest belegt“. Noch schärfer ist der Befehl vom 10. August formuliert: „Kadett Bolyai, der sich ein strafbares Spiel daraus zu machen scheint, Verweise und Ahndungen hintanzusetzen, wird seines unerklärbaren Starrsinns im Überschreiten der Einrückungsstunde wegen von heute und während des ganzen Monats August mit Hausarrest belegt.“ 12)
János Bolyai wurde trotz der disziplinären Verfehlungen auf Vorschlag des Akademiekommandanten Feldmarschallleutnant August Freyherr von Herzogenberg durch ein Dekret Erzherzog Johanns am 1. September 1823 „in Rücksicht seiner Fähigkeiten, den sich erworbenen Kenntnissen und des bewiesenen guten moralischen Betragens“ 13) zum Unterleutnant im k.k. Ingenieurkorps ernannt und der Fortifikationslokaldirektion in Temesvár zugeteilt. Damit begann für János Bolyai der Militärdienst bei der Truppe.

János Bolyai als Offizier des k.k. Ingenieurkorps

János Bolyai trat die damals noch beschwerliche Reise (es gab noch keine Eisenbahn) von Wien nach Temesvár am 17. September 1823 an. Die einzelnen Tagesetappen waren:14) Erster Tag von Wien nach Bruck an der Leitha, 18. September von Bruck an der Leitha nach Wieselburg an der Raab (Mosonmagyaróvár), 20. September von Raab (Györ) nach Neszmély, 21. September von Neszmély nach Dorog, 22. September von Dorog nach Pest, 23.-25. September in Pest, 26. September von Pest nach Örkény, 27. September von Örkény nach Filegyháza, 28. September von Filegyháza bis Szeged, 29. September von Szeged bis Szent Miklós, 30. September von Szent Miklós nach Temesvár.
Nach einer fast dreijährigen Dienstzeit in Temesvár erfolgte 1826 die Versetzung nach Arad, wo er in der Fortifikationsdirektion vom 10. April 1826 bis 8. Dezember 1830 Dienst versah und am 8. September 1827 zum Oberleutnant befördert wurde.15) János Bolyai wird in den Dienstbeschreibungen als Asket dargestellt, der keinen Alkohol trinkt, nicht der Spielleidenschaft huldigt und eigentlich keinen Streit sucht. Wurde er jedoch einmal gereizt und sah er sich genötigt, seine Gegner zum Duell herauszufordern, war er sehr geschickt im Umgang mit Säbel und Degen. Es wird berichtet, dass er aus den Duellen stets als Sieger hervorging. Er soll sich in einer Garnison an nur einem Tage mit dreizehn Kavallerieoffizieren geschlagen und alle besiegt haben; dabei hatte er nur eine Bedingung gestellt, nämlich jene, dass er sich nach je zwei Duellen durch das Spiel auf seiner geliebten Violine erholen dürfe.16) Seine militärischen Fähigkeiten werden als eher durchschnittlich angesehen, was sich u.a. bei der Beurteilung „im Dienst wenig verwendbar und kein praktischer Genieoffizier“ widerspiegelt.
Ende 1830 wurde János Bolyai nach Lemberg versetzt, wo er aber krankheitsbedingt erst ein halbes Jahr später seinen Dienst antrat. In diesem halben Jahr lebte er während des Krankenstandes bei seinem Vater in Marosvásárhely und schuf seinen 28 Seiten umfassenden und heute weltbekannten Appendix über „Scientia spatii absolute vera/Die absolute wahre Wissenschaft des Raumes“ in lateinischer Sprache. Der Appendix erschien im Anhang zu „Tantamen“, ein Werk seines Vaters, das 1831 in Druck ging.17) Aus der Zeit der Dienstverrichtung in Lemberg stammt auch eine Dienstbeurteilung von János Bolyai, die dem Oberleutnant höchste Qualifikation in Deutsch, Ungarisch und Latein sowie Mathematik zuerkennt, in der aber auch darauf hingewiesen wird, dass János Bolyai eher zum Professor geeignet sei als für eine militärische Dienstleistung, da er oft kränklich sei.18)
Als der Vater die Ausarbeitung seines Sohnes las, hat er den außerordentlichen Wert sofort verstanden, und es kam zu einem Briefwechsel zwischen Farkas Bolyai und Carl Friedrich Gauß, bei dem Farkas Bolyai noch 1831 die Ausarbeitungen seines Sohnes zur so genannten nicht-euklidischen Geometrie an Gauß sandte.19) Die Antwort von Gauß kam im März 1832 und war eindeutig, kategorisch sowie schonungslos. Gauß schreibt in seinem Brief: „Jetzt Einiges über die Arbeit Deines Sohnes. Wenn ich damit anfange, dass ich solche nicht loben darf: so wirst Du wohl einen Augenblick stutzen: aber ich kann nicht anderes; sie loben hiesse mich selbst loben: denn der ganze Inhalt der Schrift, der Weg, den Dein Sohn eingeschlagen hat, und die Resultate zu denen er geführt ist, kommen fast durchgehends mit meinen eigenen, zum Theile schon seit 30-35 Jahren angestellten Meditationen überein. In der That bin ich dadurch auf das Äusserste überrascht. Mein Vorsatz war, von meiner eigenen Arbeit, von der übrigens bis jetzt wenig zu Papier gebracht war, bei meinen Lebzeiten gar nichts bekannt werden zu lassen. Dagegen war meine Absicht, mit der Zeit Alles so zu Papier zu bringen, dass es wenigstens mit mir dereinst nicht unterginge. Sehr bin ich also überrascht, dass diese Bemühung mir nun erspart werden kann und höchst erfreulich ist es mir, dass gerade der Sohn meines alten Freundes es ist, der auf eine so merkwürdige Art zuvorgekommen ist.“ 20)
Die zustimmenden Äußerungen von Gauß steigerten zwar das Selbstbewusstsein von János Bolyai, aber auf der anderen Seite verstand er deutlich den Hinweis von Gauß, dass er selbst auch schon diese Beweise gefunden habe und damit eigentlich Anspruch auf die Priorität der Entdeckung habe. Dieser Umstand hatte auf den Charakter von János Bolyai in den folgenden Jahren weitreichende Folgen. Er wurde nämlich noch cholerischer, reizbarer und jähzorniger. János Bolyai verlor dennoch nicht das Wohlwollen seiner Vorgesetzten, da es sich bis zu Erzherzog Johann durchgesprochen hatte, dass János Bolyai bahnbrechende wissenschaftliche Erkenntnisse erlangt hatte.
Nach knapp eineinhalb Jahren Dienstzeit in Lemberg wurde János Bolyai zur Genie- und Fortifikationslokaldirektion in Olmütz versetzt.21) Und auch in Olmütz ist die Dienstbeurteilung von János Bolyai, was die militärischen Fähigkeiten betrifft, nicht gerade schmeichelnd. In der Beurteilung wird immer wieder darauf hingewiesen, dass János Bolyai für den Ingenieurdienst wenig Eifer zeigt. Allerdings wird ihm in Würdigung seiner wissenschaftlichen Verdienste „das Avancement zu seinem Range bescheinigt, wenn er sich dem Dienst mehr widmet“.22)
Spätestens im Jahre 1832 war János Bolyai des Dienstes bei der Truppe überdrüssig und schrieb am 3. August 1832 an Erzherzog Johann einen umfangreichen Brief, der die deutsche Fassung der ersten 33 Paragraphen des Appendix sowie einen Auszug aus dem Brief von Gauß enthielt und in dem Bolyai um eine dreijährige Entfernung von den kurrenten Dienstgeschäften ersucht, um sich ganz einer Reformation der gesamten Mathematik widmen zu können.23) Im Eindruck dieses Briefes und im Bewusstsein, was eigentlich der Mehrwert der Erkenntnisse der Forschungen von János Bolyai in Zukunft bedeuten könnte, schrieb der Erzherzog eigenhändig auf die Beurteilung über János Bolyai: „Einverstanden, jedoch wäre es für den Dienst am besten, wenn derselbe eine Anstellung erhielte, worin er seinen mathematischen Studien nachleben könne.“ 24) Damit meinte der Erzherzog, man solle János Bolyai an eine Stelle versetzen, an der er seine mathematischen Fähigkeiten in einem höchsten Maße nutzbringend für die k.k. Armee einsetzen könne, etwa als Lehrer an der k.k. Ingenieursakademie. Bei dem einfachen schriftlichen Hinweis verblieb es aber offensichtlich, da von Seiten des Erzherzogs keine weiteren Schritte gesetzt wurden, dass János Bolyai tatsächlich an die k.k. Ingenieursakademie versetzt wird.
Die weitere militärische Karriere von János Bolyai entschied sich durch das Zusammentreffen mehrerer Ereignisse von selbst. 1832 wurde János Bolyai immer mehr zum Hypochonder, und einem ärztlichen Gutachten vom 20. März 1833 zufolge wurde neben der hochgradigen Hypochondrie ein schwaches Sehvermögen, Verdauungsbeschwerden, Körperabmagerung und „hektische Schweiße“ festgestellt.25) Diese stabsärztliche Begutachtung konnte nur mehr zur Folge haben, dass János Bolyai als nicht mehr für den aktiven Dienst fähig eingestuft werden konnte und am 16. Juni 1833 als halbinvalid - jedoch mit dem Hinweis, sobald sich der Gesundheitszustand bessern oder eine gänzlich Heilung erfolgen sollte, János Bolyai im Rahmen einer Friedensanstellung weiter verwendet werden könnte - aus der Linie entlassen wurde. Damit endete die Militärkarriere des Jahrhundertmathematikers János Bolyai wie so viele andere Militärkarrieren genialer Soldaten in Österreich. Bei etwas gutem Willen hätten die Vorgesetzten das Genie von János Bolyai nutzbringend im Rahmen der Lehrtätigkeit an der k.k. Ingenieursakademie einsetzen und dadurch der k.k. Armee einen großen Dienst erweisen können; ein Mathematikprofessor János Bolyai hätte mehreren Generationen von Genieoffizieren seinen Stempel aufdrücken können und dadurch den Standard der Mathematik und Geometrie in der k.k. Armee im Allgemeinen angehoben.

Das Leben und Schaffen von János Bolyai als pensionierter Hauptmann

Nach seiner Pensionierung zog János Bolyai zu seinem Vater nach Marosvásárhely, dem heutigen in Rumänien gelegenen Târgu Mures. Allerdings stritten die beiden oft und János zog schließlich in das der Familie Bolyai gehörende Landgut Domáld. Dort lebte er fast zehn Jahre in voller Abgeschiedenheit in Lebensgemeinschaft mit Rozália Orbán de Kibed und den gemeinsamen drei Kindern, Sohn Dénes und den beiden Töchtern Amália und Klára-Eliza, unter eher einfachen Verhältnissen.26) János und Rosalia konnten damals nicht heiraten, da János aufgrund fehlender Geldmittel von den Militärbehörden keine Zustimmung zur Heirat erhielt. 1843 kehrte er schließlich wieder zu seinem Vater zurück, wobei sehr bald die Zwis­tigkeiten wieder hochkamen und János bald wieder nach Domáld zurückkehrte. 1846 schließlich zog János Bolyai endgültig in sein eigenes Haus nach Marosvásárhely.27) Sein Verhältnis zu seinem Vater blieb bis zu dessen Tod im Jahre1856 ein eher gespanntes.
Während des ungarischen Freiheitskampfes 1848/49 wurde János Bolyai von der Honvéd aufgefordert, sich am Freiheitskampf zu beteiligen. Er lehnte aber unter Hinweis auf seinen Gesundheitszustand eine Teilnahme am Felddienst ab, erklärte sich aber bereit, sein Wissen als Lehrer zur Verfügung zu stellen.28) Die Niederlage im Freiheitskampf überwand János Bolyai nie, jedoch konnte er 1849, als Ungarn sich während des Freiheitskampfes für unabhängig erklärt hatte, endlich seine Lebensgefährtin heiraten. Die österreichischen Militärbehörden leiteten nach der Niederschlagung des Freiheitskampfes kein Verfahren gegen János Bolyai ein, obwohl er, wenn seine Schriften über die Revolution und den Freiheitskampf den Behörden in die Hände gefallen wären, mit einem Krieggerichtsverfahren hätte rechnen müssen. Ende August 1849 meldete sich János Bolyai beim k.k. Generalkommando für Siebenbürgen in Nagyszeben (Hermannstadt) und bewirkte dabei die Auszahlung seiner Pension. Seine Bemühungen um Anerkennung seiner geschlossenen Ehe blieben aber erfolglos. 1852 trennte er sich schließlich von seiner Frau, kümmerte sich aber weiterhin fürsorglich um seine Kinder.
János Bolyai starb am 27. Januar 1860. Sein Grabmal befindet sich am evangelischen Friedhof von Marosvásárhely. Das Grab blieb über 30 Jahre vergessen, erst 1894 wurde es von der ungarischen mathematisch-physikalischen Gesellschaft mit einem Grabstein versehen.29)
Die Lebensjahre als pensionierter Geniehauptmann waren geprägt von spartanischer Lebensweise und der Auseinandersetzung mit der Raumlehre und der Entwicklung einer eigenständigen Philosophie. Trotz der bahnbrechenden wissenschaftlichen Leistung konnte János Bolyai keine Reichtümer anhäufen und litt unter chronischem Geldmangel, der ihn auch dazu bewog, an die für ihn zuständige Militärbehörde um Unterstützung heranzutreten.

Das „wahre Gesicht“ des János Bolyai

Wir wissen zwar einiges über das Aussehen von János Bolyai, beispielsweise war er von der Statur her mittelgroß und hatte zeit seines Lebens trotz der bäuerlichen Kleidung eine militärisch korrekte Haltung.30) Ein großes Geheimnis umgibt jedoch nach wie vor das konkrete Aussehen seiner Gesichtszüge, da von ihm kein Portrait erhalten geblieben ist. Oft kopierte Bilder, insbesondere auch die von der rumänischen und ungarischen Post anlässlich des 100. Todestages herausgegebenen Briefmarken geben nicht das „wahre Gesicht“ des Mathematikers wieder. Einzig die Büste, die in Târgu Mures nach Angaben des Sohnes und weiterer Zeitzeugen im Jahre 1911 angefertigt wurde, kann als authentisch angesehen werden.31) Umso mehr bemühten sich Künstler das wahre Gesicht unter Verwendung von Portraits seines Sohnes, seiner Mutter und seines Vaters zu rekonstruieren. Ein solcher Versuch erfolgte in den 1990er-Jahren vom Maler Attlia Zsigmond (1927-1999), der in Marosvásárhely gelebt hatte.32) Ob dieses Portrait tatsächlich dem wahren Aussehen entspricht, wird wohl niemals mit Gewissheit festgestellt werden können.

Euklidische versus nicht-euklidische Geometrie

Eine Darstellung des Lebens und Schaffens von János Bolyai wäre unvollständig, wenn nicht zumindest im Überblick der Wert seines wissenschaftlichen Schaffens dargestellt würde. Die Mathematik nahm ihre heutige deduktive Gestalt im fünften Jahrhundert vor Christus an, als sie aus dem ägyptischen und babylonischen in den griechischen Kulturkreis übernommen wurde. Eine Besonderheit dabei war, dass der Geometrie weit größeres Gewicht beigemessen wurde als der Arithmetik,33) die damals sogar weitgehend in geometrischem Gewande auftrat. Die Vorgeschichte der nicht-euklidischen Geometrie beginnt somit bereits vor rund 2.300 Jahren. Um das Jahr 325 vor Christus begründete im heutigen Alexandria in Ägypten der griechische Mathematiker Euklid34) mit seinen Forschungsergebnissen die Grundlagen der Geometrie, die bis heute noch nachwirken. In seinem Werk „Stoicheia (= Anfangsgründe, Prinzipien, Elemente)“ fasste er das Wissen der griechischen Mathematik zusammen. Euklid vertrat damals die Ansicht, dass im Laufe der Jahrhunderte im alten Ägypten und in Babylonien ein reicher Schatz an Einzelresultaten der Geometrie angehäuft wurde und diese Einzelresultate systematisch erfasst werden sollten. Bei der Ordnung der vorhandenen Resultate wurde von Euklid zum ersten Mal der Versuch unternommen, ein Gebiet des menschlichen Denkens zu einer wissenschaftlichen Disziplin zu machen. Einen speziellen Teil seiner Arbeiten betraf die „geometria (= Erdmaß, Landmessung)“, die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc. beschäftigt. Euklids „Elemente“ bildeten bis in das
20. Jahrhundert die Grundlage für den Geometrieunterricht. Das System von Euklid besteht aus drei Teilen: den Erklärungen = Definitionen, beispielsweise „Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und, nach beiden Seiten ins Unendliche verlängert, auf keiner Seite zusammentreffen“; den Forderungen = Axiome (Postulat), beispielsweise „Es soll gefordert werden, dass sich von jedem Punkt nach jedem Punkt eine gerade Linie ziehen lasse“ und den Grundsätzen, beispielsweise „Das Ganze ist größer als sein Teil“.
Euklid formulierte fünf Axiome (Postulate) aus, deren erste vier wesentlich einfacher formuliert waren als das fünfte Axiom (Postulat), das als das so genannte „Parallelenaxiom“ bezeichnet wird. Die Bezeichnung des Parallelenaxioms schwankt in der Literatur, da es einmal als fünftes Postulat (Axiom) von Euklid, aber auch als 11. oder 13. Axiom bezeichnet wird. Das Parallelenaxiom besagt: „Wenn eine Gerade (einer Ebene) zwei Geraden schneidet und die inneren und auf einer Seite liegenden Winkel zusammen kleiner als zwei rechte macht, dann sollen die zwei Geraden, unbegrenzt verlängert, sich schneiden auf derjenigen Seite, wo die Winkel sind, die zusammen weniger als zwei rechte ausmachen“.35) Äquivalente Aussagen zum Parallelenaxiom sind u.a.: „Zu jeder Geraden g gibt es durch jeden Punkt P genau eine zu g parallele Gerade.“ 36)
Bedeutend für die Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrie war der „Raumbegriff“ des Euklid, der von unbegrenzten, nicht gekrümmten Flächen (Ebenen) ausgeht und von einem genauso in drei Richtungen hin unbegrenzten Raum. Seine Grundbausteine sind die Punkte, Geraden und (im Raum) Ebenen. Nur diese, vielleicht noch Kreis und Kugel, sind Gegenstand der Geometrie im euklidischen Sinne. Die euklidische Geometrie bestimmte über Jahrtausende das von den damaligen geistlichen und weltlichen Herrschern zugelassene Bild der Erde und der Gestirne, nach deren Vorstellung die Erde als eine Scheibe angesehen wurde. Bis zum Beginn des
19. Jahrhunderts wurden die euklidische Geometrie und auch der Raumbegriff von Euklid gelehrt. Dies ist hauptsächlich auf den hohen didaktischen Wert des Werkes von Euklid zurückzuführen. Auch Immanuel Kant bekräftigte in seinen Arbeiten die Ansicht von Euklid zum Raumbegriff.37)
Im Laufe der mehr als 2.300-jährigen Geschichte des Gedankengebäudes von Euklid war es nicht möglich, das Parallelenaxiom schlüssig aus den anderen vier Axiomen abzuleiten. Das Ergebnis der Bemühungen führte aber zu gänzlich neuem Wissen, nämlich der nicht-euklidischen Geometrie, die in sich ebenso konsequent ist wie die euklidische Geometrie, obwohl in ihr das Parallelenaxiom nicht mehr gilt. Janos Bolyai schreibt darüber: „Der Weg, den ich befolgt habe, verdient umso mehr eine nähere Betrachtung, weil der Inhalt wichtig genug erscheint und daneben auch noch ersichtlich wird, dass dies der einzige Pfad ist, der zur einzunehmenden Festung führt…. Ich habe gleich auch erkannt, wenn der Radius (ca)→∞ ist, dann hat die Kreislinie eine Grenzlinie im Raum, oder wenn wir es im weiteren Sinne des Wortes nehmen, ich habe das Existieren der Kreislinie vom unendlichen Radius, die zu den Kreislinien mit endlichen Radius und zu den Geraden, zu den adäquidistanten Linien dieselbe Beziehung hat wie die Parabel zu den Ellipsen und Hyperbeln. Das ist schon etwas, ich ließ [diese Erkenntnis] nie entfallen, lebendig spürte ich, dass ich den richtigen Weg gefunden habe.“ 38)
Die Forschungen zur euklidischen Geometrie waren damals nicht auf einen Platz in Europa beschränkt. Vielmehr waren es drei herausragende Mathematiker, die unabhängig voneinander ihre „nicht-euklidische Geometrie“ entwickelten. Der in der deutschsprachigen Fachwelt wohl bekannteste von ihnen war Carl Friedrich Gauß39) (1777-1855). Daneben entwickelten in Russland Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski40) (1792-1856) und in Ungarn Jànos Bolyai unabhängig voneinander die gänzlich neue Erkenntniswelt der nicht-euklidischen Geometrie, in der gilt, „dass es in ihr zu jeder Geraden g und jeden Punkt P außerhalb g genau zwei Parallelen zu g und P gibt“.41)
Heute hat sich die Ansicht durchgesetzt, dass die nicht-euklidische Geometrie keine anti-euklidische Geometrie ist, sondern sie ist wie die euklidische Geometrie eine Art Spezialisierung der absoluten Geometrie, in der aber das Parallelenaxiom keine Gültigkeit hat.
Es würde hier zu weit führen, die Arbeiten zur nicht-euklidischen Geometrie, die die drei bedeutenden Mathematiker Gauß, Lobatschewski und Bolyai unabhängig voneinander entwickelt haben, auch nur in ihren Grundzügen darstellen zu wollen, da zum vollen Verständnis der Ausführungen mehr als nur einfache Grundkenntnisse der Mathematik erforderlich sind. Der Autor nimmt daher bewusst in Kauf, dass bei der geneigten Leserschaft der Eindruck entstehen könnte, der Autor verkürzt aus reiner Überheblichkeit die Erklärung der Unterschiede zwischen der euklidischen und nicht-euklidischen Geometrie. Zum besseren Verständnis der Unterschiede zwischen den beiden geometrischen Welten kann man auch durch folgende Erklärung gelangen, indem man das Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie aus dem Axiomensystem einfach weglässt und dafür gelten lässt: „Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es keine Parallele (= Elliptische Geometrie) oder zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es mindestens zwei Parallelen (= Hyperbolische Geometrie)“.42)
Die Entwicklung des Gedankengebäudes der nicht-euklidischen Geometrie war aber ein wichtiger Schritt bei der Entwicklung verschiedener Wissenschaftsdisziplinen, und es war Mitte des 19. Jahrhunderts offensichtlich die Zeit reif, dass es einzelnen Wissenschaftlern unabhängig voneinander gelang, dieses neue Gedankengebäude zu entwickeln, ähnlich der Entwicklung, die die Informationstechnologie ab der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts genommen hat, als durch eine Handvoll von Wissenschaftlern aus dem scheinbaren Nichts eine „Neue Welt“ geschaffen wurde. Aufbauen auf die Erkenntnisse von Bolyai konnte insbesondere die Wissenschaftsdisziplin Kosmologie (= Lehre vom Ursprung, der Entwicklung und der grundlegenden Struktur des Weltalls) und die allgemeine Relativitätstheorie, die von der euklidischen Geometrie abweicht, da sich beispielsweise Schwerefelder im Raum krümmen.
Von den drei Schöpfern der nicht-euklidischen Geometrie ist es aber János Bolyai, der die euklidische Geometrie mit unendlich vielen nicht-euklidischen Geometrien auf höherer Stufe zu einer absoluten Geometrie vereinigt hatte, während Gauß und Lobatschewski nur gegenüberstellen, ohne sie vereinigt zu haben. Mit dieser Meisterleistung kann János Bolyai berechtigt als der Mozart der Mathematik (Geometrie) angesehen werden.43)
Die Frage nach der Denkbarkeit anderer Welten mit veränderter Physik und Mathematik beschäftigte seit der Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrie jede Menge Wissenschaftler. Kurd Laßwitz (1848-1910), der Mathematik und Physik an den Universitäten in Breslau und Berlin studierte, und als einer der Väter der modernen Science Fiction gilt, verdanken wir durch das Stück „Prost: der Faust-Tragödie (-n)ter Teil“, in dem Mephisto einem Studienanfänger das Studium der nicht-euklidischen Geometrie schmackhaft machen will. Auszugsweise wird das Gespräch, das der Fuchs mit dem Mephisto führt, wiedergegeben.44)

Fuchs: …Was soll ich nun aber denn studieren?
Mephisto: Ihr könnt es mit analytischer Geometrie probieren.
Da wird der Raum euch wohl dressiert,
in Coordinaten eingeschnürt,
dass ihr nicht etwa auf gut Glück
von der Figur gewinnt ein Stück.
Dann lehret man euch manchen Tag,
dass was ihr sonst auf einen Schlag
construiertet im Raume frei,
eine Gleichung dazu nötig sei.
Zwar ward dem Menschen zu seiner Erbauung
die dreidimensionale Raumanschauung,
dass er sieht was um ihn passiert,
und die Figuren sich construiert -
der Analytiker tritt herein
und beweist, das konnte auch anders sein.
Gleichungen, die auf dem Papiere stehn,
die müßt‘ man auch können im Raume sehn;
und konnte man‘s nicht construieren,
da müsste man‘s anders definieren.
Denn was man formt nach Zahlengesetzen
müsst‘ uns auch geometrisch ergötzen.
Drum in den unendlich fernen beiden
imaginären Punkten müssen sich schneiden
alle Kreise fein säuberlich,
auch Parallelen, die treffen sich
und im Raume kann man daneben
allerlei Krümmungsmaße erleben.
Die Formeln sind alle wahr und schön,
warum sollen sie nicht zu deuten gehn?
Da preisen‘s die Schüler aller Orten,
dass das Gerade ist krumm geworden.
Nicht-Euklidisch nennt‘s die Geometrie,
spottet ihrer selbst, und weiß nicht wie.

Der Autor, der sich während seines Studiums auch mit der Lösung von Differentialgleichungen und mit der Differentialgeometrie abmühen musste, kann nur zu gut verstehen, welche geniale Leistung János Bolyai mit der Entwicklung seiner absoluten Geometrie des Raumes vollbracht hatte.

Der jährliche Festakt für Bolyai János in der Stiftskirche und Stiftskaserne in Wien

Alljährlich Mitte November organisiert die Bolyai János Honvéd Stiftung (Bolyai János alapitvány) gemeinsam mit der Landesverteidigungsakademie in Wien eine Gedenkveranstaltung für den ehemaligen Kadetten János Bolyai. Diese beginnt mit einer Messfeier in der Stiftskirche, die von einem österreichischen Militärgeistlichen gemeinsam mit einem ungarischen katholischen und einem ungarischen protestantischen Militärseelsorger zelebriert wird, und einer Kranzniederlegung durch die ungarische Abordnung, bestehend aus einem Vertreter der ungarischen Botschaft in Wien, den für Österreich zuständigen ungarischen Militärattaché, Kadetten der Fakultät der Militärwissenschaften, Mitgliedern der Bolyai János Honvéd-Stiftung und Vertretern des Bundesheeres bei der Ehrentafel des János Bolyai, die von Gardesoldaten flankiert wird. Für die musikalische Umrahmung sorgen Militärmusiker des Gardebataillons. Danach findet ein Empfang statt, bei der der Dekan der Militärfakultät der Universität für die öffentliche Verwaltung in Budapest und der Kommandant der Landesverteidigungsakademie das Leben und Wirken von János Bolyai gebührend würdigen.
Erinnerungsorte für János Bolyai im heutigen Ungarn und Rumänien
János Bolyai ist ein großer Sohn Großungarns. Den Großteil seines Lebens verbrachte János Bolyai in jenem Teil des damaligen Ungarn, der nach dem Zerfall der Donaumonarchie dem heutigen Rumänien zugeschlagen wurde. Sein Erbe wird durch zahlreiche Denkmäler und andere Zeichen der Erinnerung auch im heutigen Rumänien wach gehalten.45)
In seinem Geburtsort Kolozsvár (Klausenburg, Cluj) stehen das renovierte Geburtshaus und ein Denkmal. Ferner tragen die „Babes- (= rumänischer Biologe) Bolyai-Universität in Cluj und das János Bolyai-Institut für Mathematik an der Universität Szeged seinen Namen. In einigen Etappen seines Wirkens sind Gedenktafeln angebracht, beispielsweise in der Landesverteidigungsakademie in der Stiftskaserne und in der Stiftskirche sowie in Olmütz eine Gedenktafel. Des Weiteren wurden ein Mondkrater und ein Asteroid des Hauptgürtels (1441 Bolyai) nach Bolyai benannt. Im heutigen Târgu Mures, dem damaligen Marosvásárhely, finden sich etliche Erinnerungszeichen an die beiden Bolyai, beispielsweise ein Denkmal beider Bolyai, geschaffen von den Künstlern Márton Izsák und István Csorvássy im Jahre 1957, ein Büste von János Bolyai und eine Erinnerungstafel am Wohnhaus, das sich an der Kreuzung der heutigen Papiu Ilaria Straße und der Körösi-Csorna-Sándor Straße gegenüber dem römisch-katholischen Friedhof befindet. Und es gibt auch einen nach ihm benannten internationalen Mathematik-Preis, der alle fünf Jahre von der ungarischen Akademie der Wissenschaften vergeben wird.
Anstelle eines Schlusswortes beziehungsweise einer Zusammenfassung verneigt sich der Autor vor einem großen Wissenschaftler und schließt den Beitrag mit der Feststellung: „Mit seinen Erkenntnissen zur nicht-euklidischen Geometrie leitete János Bolyai die größte wissenschaftliche Revolution seit Kopernikus ein, indem er aus dem Nichts eine neue Welt schuf. Sein Appendix zur nicht-euklidischen Geometrie wird zu seiner ewigen Erinnerung bleiben.“ 


ANMERKUNGEN:

1) Am 3. November 1823 sandte János einen Brief an seinen Vater, in dem er auch den Satz „Semmiböl egy újj más világot teremtettem!“ („Ich habe aus dem Nichts eine neue Welt geschaffen!“) schrieb, die später weltbekannt werden sollten. Mit der Bezeichnung „Neue Welt“ meinte er die Entdeckung der hyperbolischen Geometrie.
2) János Bolyai ist einer der drei bedeutendsten ungarischen Mathematiker. Die anderen beiden sind: János Margittai Neumann (1903-1957), einer der Begründer der Informatik, und Pál Erdös (1913-1996), einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts.
3) Vgl. Annemarie Maeger: János Bolyai-der Mozart der Mathematik-Leben und Werk, Autorenverlag Annemarie Maeger, Hamburg 1999, S.77ff.
4) Vgl. 3, S.77.
5) Vgl. 3, S.79.
6) Vgl. 3, S.79.
7) Vgl. 3, S.79.
8) Ács Tibor: János Bolyai an der Ingenieursakademie in Wien, Schriftenreihe der Landesverteidigungsakademie, Sonderband 1/2007, BMLV/LVAk, Wien 2007, S.15; Gauß wollte sich offensichtlich nicht die Kosten und Mühen aufbürden, die er bei der Erziehung und Ausbildung aufwenden hätte müssen.
9) Vgl. 8, S.15/16.
10) Vgl. 8, S.34ff. Die Kurzdarstellung der Ausbildung von János Bolyai an der Ingenieursakademie basiert im Wesentlichen auf den ausführlichen Darstellungen von Ács.
11) Vgl. 8, S.43/44.
12) Vgl. Wiesner Siegbert: Zur Biographie Johann Bolyais, in: Jahresberichte DMV (Deutsche Mathematik Vereinigung) Band 29, Verlag und Druck B.G. Teubner, Leipzig 1920, S.131.
13) Vgl. 3, S.57.
14) Vgl. 3, S.83.
15) Vgl. 8, S.147.
16) Friedrich Engel und Paul Stäckel (Hrsg.): Urkunden zur Geschichte der Nichteuklidischen Geometrie, Druck und Verlag Von B.G. Teubner, Leipzig und Berlin 1913, S.70.
17) Vgl. 8, S.148.
18) Vgl. 12, S.132.
19) Vgl. 3, S.62.
20) Vgl. 3, S.63.
21) Vgl. 8, S.151.
22) Vgl. 16, S.134.
23) Vgl. 16, S.134.
24) Vgl. 16, S.134.
25) Vgl. 8, S.154.
26) Vgl. 8, S.156.
27) Vgl. 3, S.20.
28) Vgl. 8, S.162.
29) Schmidt Franz: Lebensgeschichte des ungarischen Mathematikers Johann Bolyai de Bolya, in: Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik, Achtes Heft, Druck und Verlag von B.G. Teubner Leipzig 1898, S.145.
30) Vgl. 29, S.147.
31) Vgl.Tamás Dénes: Real Face of János Bolyai, in Notices of the American Mathematical Society, 58(1) vom 18. Juni 2011, S.41-51.
32) Vgl. 31, S.46.
33) Das Wort „Arithmetik“ stammt aus dem Griechischen „αριθμητική [τέχνη], arithmitiké [téchne]“, wörtlich „die Zahlenmäßige [Kunst]“) und ist der Begriff für ein Teilgebiet der Mathematik. Sie umfasst das Rechnen mit den Zahlen, v.a. den natürlichen Zahlen. Das Wort „Geometrie“ stammt ebenfalls aus dem Griechischen γεωμετρία geometria‚ wörtlich „Erdmaß‘, „Landmessung“ und ist der Begriff für ein Teilgebiet der Mathematik.
34) Vgl. Kleine Enzyklopädie der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt, 1984, S.766.
35) Vgl. 34, S.767.
36) Vgl. 34, S.767.
37) Vgl. Weszely Tibor: János Bolyai-Die ersten 200 Jahre, Springer, Basel 2013, S.4ff.
38) Vgl. 8, S.83.
39) Vgl. H.Reichardt: Gauß und die Anfänge der nicht-euklidischen Geometrie, Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1985, S.21ff.
40) Vgl. 39, S.66ff.
41) Vgl. 34, S.768.
42) Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie (abgefragt am 30.12.2014).
43) Vgl. 3, S.12.
44) Vgl. http://gutenberg.spiegel.de/buch/prost-3129/1 (abgefragt am 30.12.2014).
45) Vgl. 37, S.231ff.